Question

11．如圖所示，二面角A-BC-D的大小為45°，P為平面ABC內(nèi)一點，Q為平面BCD內(nèi)一點，M為BC上一點，已知P在平面BCD內(nèi)的射影恰好在線段MQ上，設PM=$\sqrt{2}$，∠CMQ=45°，直線PQ與平面BCD所成的角為30°，則PQ的長為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}\sqrt{6}$
• B． $\frac{3}{4}\sqrt{6}$
• C． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{2}\sqrt{2}$

Answer 1

分析 可作出圖形，可設E為P在平面BCD內(nèi)的射影，并過P作PF⊥BC于F，連接EF，PE，可說明∠PFE=45°，可設PE=m，從而可以得到ME=$\sqrt{2}m$，根據(jù)PM=$\sqrt{2}$便可求出m=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．可說明∠PQE=30°，從而在RtPQE中可以求出PQ的長度．

解答 解：如圖，設P在平面BCD內(nèi)的射影為E，過P作PF⊥BC，交BC于F，連接EF，PE；
∵PE⊥平面BCD，BC?平面BCD；
∴PE⊥BC，即BC⊥PE；
又BC⊥PF，PE∩PF=P；
∴BC⊥平面PEF；
∴BC⊥EF；
∴∠PFE為二面角A-BC-D的平面角，即∠PFE=45°；
設PE=m，則EF=m；
在Rt△FME中，∠FME=45°，∠MFE=90°，則：ME=$\sqrt{2}m$；
在Rt△PME中，PM=$\sqrt{2}$，∠PEM=90°，則：m²+2m²=2；
∴$m=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
PE⊥平面BCD，則∠PQE為PQ和平面BCD所成角；
∴∠PQE=30°，又∠PEQ=90°，PE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴$PQ=\frac{PE}{sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故選：A．

點評 考查線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理，二面角的平面角的概念，線面角的概念，以及點在一個平面上的射影的定義，直角三角形的邊角關系．