Question

2．對任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=|x+1|+|x+3|，由絕對值不等式的性質(zhì)，可得|x+1|+|x+3|≥|（x+1）-（x+3）|=2，即有f（x）的最小值為2，再由恒成立思想即為a≤f（x）=|x+1|+|x+3|的最小值，可得a的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=|x+1|+|x+3|，
由絕對值不等式的性質(zhì)，可得
|x+1|+|x+3|≥|（x+1）-（x+3）|=2，
當且僅當（x+1）（x+3）≤0，即-3≤x≤-1時，取得等號．
則f（x）的最小值為2，
由任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，
即為a≤f（x）=|x+1|+|x+3|的最小值，
則a≤2．
故答案為：（-∞，2]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意運用構(gòu)造函數(shù)法，由絕對值不等式的性質(zhì)求得最值，屬于中檔題．