Question

5．已知f（x）=$\frac{（\sqrt{x}+1）^{2}}{x+1}$，g（x）=asin$\frac{π}{6}$x+a（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，3]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則a的取值范圍是$[\frac{1}{2}，2]$．

Answer 1

分析 根據(jù)x的范圍確定函數(shù)f（x）的值域A和g（x）的值域B，進(jìn)而根據(jù)f（x₁）=g（x₂）成立，推斷出A∩B≠∅，先看當(dāng)二者的交集A∩B=∅時(shí)求得a的范圍，進(jìn)而可求得當(dāng)集合的交集非空時(shí)a的范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{（\sqrt{x}+1）^{2}}{x+1}$=$\frac{x+2\sqrt{x}+1}{x+1}$=1+$\frac{2\sqrt{x}}{x+1}$，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1，
當(dāng)0＜x≤3時(shí)，f（x）=1+$\frac{2\sqrt{x}}{x+1}$=1+$\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}$，
∵0＜x≤3，∴$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
則0＜$\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}$≤1，1＜1+$\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}$≤2，
綜上1≤1+$\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}$≤2，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳=[1，2]，
當(dāng)0≤x≤3時(shí)，0≤$\frac{π}{6}$x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤sin$\frac{π}{6}$x≤sin$\frac{π}{2}$，
即0≤sin$\frac{π}{6}$x≤1，
∵a＞0，
∴a≤asin$\frac{π}{6}$x+a≤2a，
即函數(shù)g（x）的值域?yàn)锽=[a，2a]，
若存在x₁，x₂∈[0，3]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則則A∩B≠∅，
若A∩B=∅，
則a＞2或0＜2a＜1，
即a＞2或0＜a＜$\frac{1}{2}$，
若A∩B≠∅，
則$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故答案為：$[\frac{1}{2}，2]$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查函數(shù)的值域問(wèn)題，不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是通過(guò)看兩函數(shù)值域之間的關(guān)系來(lái)確定a的范圍．