Question

11．以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ（x）組成的集合：對(duì)于函數(shù)φ（x），存在一個(gè)正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．
例如，當(dāng)φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx時(shí)，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．現(xiàn)有如下結(jié)論：
①設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任何實(shí)數(shù)b，存在a∈D，使得f（a）=b，則f（x）∈A；
②若函數(shù)f（x）∈B，則f（x）有最大值和最小值；
③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則（f（x）+g（x））∉B；
④若函數(shù)f（x）=aln（x+2）+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2，a∈R）有最大值，則f（x）∈B．
其中正確的是（　�。�

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 根據(jù)題中的新定義，結(jié)合函數(shù)值域的概念，可判斷出命題①②③是否正確，再利用導(dǎo)數(shù)研究命題④中函數(shù)的值域，可得到其真假情況，從而得到本題的結(jié)論．

解答 解：（1）對(duì)于命題①，
“f（x）∈A”即函數(shù)f（x）值域?yàn)镽，
“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”表示的是函數(shù)可以在R中任意取值，
故有：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，則“f（x）∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”，
∴命題①是真命題；
（2）對(duì)于命題②，
若函數(shù)f（x）∈B，即存在一個(gè)正數(shù)M，使得函數(shù)f（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函數(shù)f（x）滿足-2＜f（x）＜5，則有-5≤f（x）≤5，此時(shí)，f（x）無(wú)最大值，無(wú)最小值．
∴命題②“函數(shù)f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值．”是假命題；
（3）對(duì)于命題③，
若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
則f（x）值域?yàn)镽，f（x）∈（-∞，+∞），
并且存在一個(gè)正數(shù)M，使得-M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
則f（x）+g（x）∉B．
∴命題③是真命題．
（4）對(duì)于命題④，
∵函數(shù)f（x）=aln（x+2）+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2，a∈R）有最大值，
∴假設(shè)a＞0，當(dāng)x→+∞時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，則f（x）→+∞．與題意不符；
  假設(shè)a＜0，當(dāng)x→-2時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$→-$\frac{2}{5}$，ln（x+2）→-∞，∴aln（x+2）→+∞，則f（x）→+∞．與題意不符．
∴a=0．即函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2）
當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≥2，∴0＜$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$$≤\frac{1}{2}$，即0＜f（x）$≤\frac{1}{2}$；
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0；
當(dāng)x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≤-2，∴-$\frac{1}{2}≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$＜0，即-$\frac{1}{2}≤f（x）＜0$．
∴-$\frac{1}{2}≤f（x）≤\frac{1}{2}$．即f（x）∈B．故命題④是真命題．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．