1.設(shè)f(x)=$\frac{mx}{1+|x|}$,集合N={y|y=f(x),x∈[a,b]},若使得N=[a,b]的實(shí)數(shù)對(a,b)(a<b)恰好有3個(gè),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>1.

分析 由題意判斷函數(shù)f(x)=$\frac{mx}{1+|x|}$的奇偶性與單調(diào)性,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,從而結(jié)合圖象解得.

解答 解:令y=$\frac{x}{1+|x|}$,
易知y=$\frac{x}{1+|x|}$在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增,
當(dāng)m<0時(shí),
f(x)=$\frac{mx}{1+|x|}$在R上是減函數(shù)且是奇函數(shù),
若N={y|y=f(x),x∈[a,b]}=[a,b],
則f(a)=b,且f(b)=a,
由點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)(b,a)關(guān)于y=x對稱,
則a<0<b,
∴f(-a)=-f(a)=-b,
若b<-a,則f(b)>f(-a),a>-b,-a<b矛盾,
若b>-a,則f(b)<f(-a),a<-b,-a>b矛盾,
故b=-a,
故f(x)=-x的非零解,
即f(x)與直線y=-x的非零交點(diǎn)的個(gè)數(shù),
結(jié)合圖象可知,
,
最多有一對非零交點(diǎn),故不成構(gòu)成3對;
當(dāng)m=0時(shí),顯然不成立;
當(dāng)m>0時(shí),同理可化為f(x)與直線y=x的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),
結(jié)合圖象可知,

由方程$\frac{mx}{1+|x|}$=x知,
當(dāng)m>1時(shí),有三個(gè)交點(diǎn),
可構(gòu)成3對(a,b);
當(dāng)0<m≤1時(shí),不能構(gòu)成3對(a,b);
故答案為:m>1.

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
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11.以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合,B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ(x)組成的集合:對于函數(shù)φ(x),存在一個(gè)正數(shù)M,使得函數(shù)φ(x)的值域包含于區(qū)間[-M,M].
例如,當(dāng)φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx時(shí),φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.現(xiàn)有如下結(jié)論:
①設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若對于任何實(shí)數(shù)b,存在a∈D,使得f(a)=b,則f(x)∈A;
②若函數(shù)f(x)∈B,則f(x)有最大值和最小值;
③若函數(shù)f(x),g(x)的定義域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,則(f(x)+g(x))∉B;
④若函數(shù)f(x)=aln(x+2)+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$(x>-2,a∈R)有最大值,則f(x)∈B.
其中正確的是(  )
A.②③④B.①③④C.②③D.①③

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12.已知函數(shù)f(x)=|3x-1|,當(dāng)a<b<c時(shí),有f(a)>f(c)>f(b),則下列各式中正確的是( 。
A.3a+3b<2B.3b+3c<2C.3a+3c<2D.3a+3c<1

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9.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,且ω>0,求其解析式.

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16.已知點(diǎn)A,B分別為異面直線a,b上的點(diǎn),且直線AB與a,b均垂直,動點(diǎn)P∈a,Q∈b,PA+QB為定值,則線段PQ中點(diǎn)M的軌跡是(  )
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6.已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足$\frac{a}{sin∠PF{{\;}_{1}F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$1,則該曲線的離心率的取值范圍為(  )
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13.已知命題p:x+y≠6,命題q:x≠2或y≠4,則命題p是命題q的(  )
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11.“α是第二象限角“是“sinαcosα<0”的( 。
A.充分不必要條件B.不要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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