Question

1．設f（x）=$\frac{mx}{1+|x|}$，集合N={y|y=f（x），x∈[a，b]}，若使得N=[a，b]的實數對（a，b）（a＜b）恰好有3個，則實數m的取值范圍是m＞1．

Answer 1

分析 由題意判斷函數f（x）=$\frac{mx}{1+|x|}$的奇偶性與單調性，從而轉化為函數的圖象的交點的個數問題，從而結合圖象解得．

解答 解：令y=$\frac{x}{1+|x|}$，
易知y=$\frac{x}{1+|x|}$在R上是奇函數且單調遞增，
當m＜0時，
f（x）=$\frac{mx}{1+|x|}$在R上是減函數且是奇函數，
若N={y|y=f（x），x∈[a，b]}=[a，b]，
則f（a）=b，且f（b）=a，
由點（a，b）與點（b，a）關于y=x對稱，
則a＜0＜b，
∴f（-a）=-f（a）=-b，
若b＜-a，則f（b）＞f（-a），a＞-b，-a＜b矛盾，
若b＞-a，則f（b）＜f（-a），a＜-b，-a＞b矛盾，
故b=-a，
故f（x）=-x的非零解，
即f（x）與直線y=-x的非零交點的個數，
結合圖象可知，
，
最多有一對非零交點，故不成構成3對；
當m=0時，顯然不成立；
當m＞0時，同理可化為f（x）與直線y=x的交點的個數，
結合圖象可知，

由方程$\frac{mx}{1+|x|}$=x知，
當m＞1時，有三個交點，
可構成3對（a，b）；
當0＜m≤1時，不能構成3對（a，b）；
故答案為：m＞1．

點評 本題考查了函數的性質的判斷與應用，同時考查了數形結合的思想應用．