Question

6．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 由向量垂直的條件可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=0，化簡可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，再由向量的夾角公式可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，再由同角的平方關(guān)系，可得夾角的正弦值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow$|=2，即為|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$），
可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=0，
即有$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3$\overrightarrow$²=0，
即4+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3=0，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，
即cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{2×1}$=-$\frac{1}{4}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，
即有sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\sqrt{1-（-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量夾角的正弦，考查運算能力，屬于中檔題．