Question

10．已知A、B分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)C、D是橢圓上的兩點(diǎn)，OC⊥OD，求三角形OCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得B的坐標(biāo)，然后得到橢圓左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用橢圓定義求出2a，由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）分CD所在直線斜率不存在和存在兩種情況討論，斜率不存在時(shí)求得三角形OCD面積，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程y=kx+n，和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合OC⊥OD得到k與n的關(guān)系，由弦長公式求得弦長，由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)O到直線l的距離，代入三角形面積公式，配方法利用函數(shù)單調(diào)性得到三角形OCD面積的范圍得答案．

解答 解：（1）如圖，P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
由題意可得：B（1，0），即c=1．
∴A（-1，0），則2a=|PA|+|PB|=$\sqrt{（-1+1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}-0）^{2}}+\sqrt{（-1-1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}-0）^{2}}$=$2\sqrt{2}$．
∴a²=2，b²=a²-c²=1．
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）當(dāng)CD所在直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為x=m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得C（m，$-\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{2}}$），D（m，$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{2}}$）．
由OC⊥OD，得${m}^{2}-（1-\frac{{m}^{2}}{2}）=0$，解得m=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
不妨取m=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，則|CD|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴${S}_{△OCD}=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2}{3}$；
當(dāng)CD所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+n．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0．
△=16k²n²-4（1+2k²）（2n²-2）=16k²-8n²+8．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+n）（kx₂+n）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+kn（{x}_{1}+{x}_{2}）+{n}^{2}$
=${k}^{2}•\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+kn•（-\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}）+{n}^{2}$=$\frac{{n}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∵OC⊥OD，∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+\frac{{n}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3{n}^{2}-2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=0$．
∴3n²-2-2k²=0．
|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（-\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8{n}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2{k}^{2}-{n}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$．
把3n²-2-2k²=0代入得：|CD|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$．
原點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{|n|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴${S}_{△OCD}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}\sqrt{\frac{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{（2{k}^{2}+1）^{2}+\frac{1}{2}（2{k}^{2}+1）-\frac{1}{2}}{2{k}^{2}+1}}$
=$\frac{2}{3}\sqrt{（2{k}^{2}+1）-\frac{1}{2（2{k}^{2}+1）}+\frac{1}{2}}$．
∵1+2k²＞1，∴$\sqrt{（2{k}^{2}+1）-\frac{1}{2{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}}＞1$．
則${S}_{△OCD}＞\frac{2}{3}$．
綜上，三角形OCD面積的最小值為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查利用橢圓定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查計(jì)算能力，是中檔題．