Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，準(zhǔn)線方程為x=±4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A為橢圓C上的左頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F₂與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，AM，AN的斜率k₁，k₂滿足k₁+k₂=-$\frac{1}{2}$，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，準(zhǔn)線方程為x=±4，建立方程，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線l為y=k（x-1），直線l和橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．將y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達(dá)定理能求出直線MN的方程．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，準(zhǔn)線方程為x=±4，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，
∴a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；…（6分）
（2）若直線l斜率不存在，顯然k₁+k₂=0不合題意；…（8分）
則直線l的斜率存在．
設(shè)直線l為y=k（x-1），直線l和橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
將y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
依題意：△=9k²+9＞0，…（10分）
由韋達(dá)定理知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
又k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=k[2-3（$\frac{1}{{x}_{1}+2}$+$\frac{1}{{x}_{2}+2}$）]，
$\frac{1}{{x}_{1}+2}$+$\frac{1}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+4}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=$\frac{8{k}^{2}+4（3+4{k}^{2}）}{4{k}^{2}-12+16{k}^{2}+4（3+4{k}^{2}）}$=$\frac{2{k}^{2}+1}{3{k}^{2}}$，
從而k_AM+k_AN=k（2-3•$\frac{2{k}^{2}+1}{3{k}^{2}}$）=-$\frac{1}{k}$=-$\frac{1}{2}$，…（14分）
解得k=2，符合△＞0．
故所求直線MN的方程為：y=2（x-1）．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．