Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{xln（x-1）}{x-2}$．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x∈（1，2）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后，判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，
（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，2）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＞2等價(jià)于$\frac{xln（x-1）}{x-2}$-2＞0，也就是證$\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{-2ln（x-1）+x-\frac{x}{x-1}}{（x-2）^{2}}$
設(shè)h（x）=-2ln（x-1）+x-$\frac{x}{x-1}$，
則h′（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+4}{（x-1）^{2}}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，又h（2）=0，
∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h（x）＜0，
則f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h（x）＞0，
則f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)．
綜上知：f（x）在（1，2）單調(diào)遞減函數(shù)，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增函數(shù)．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，2）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＞2等價(jià)于$\frac{xln（x-1）}{x-2}$-2＞0，
也就是證$\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0                          
設(shè)G（x）=ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2，G′（x）=$\frac{（x-2）^{2}}{（x-1）{x}^{2}}$≥0          
∴G（x） 在（1，+∞）單調(diào)遞增函數(shù)，又G（2）=0
∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，G（x）＜0，
則$\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，G（x）＞0，
則 $\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0
綜上可得：當(dāng)x∈（1，2）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式及其運(yùn)用，屬于中檔題，難度中等．