Question

已知動點M（x，y）到直線l：y=4的距離是它到點N（0，1）的距離的2倍．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點P（3，0）的直線m與軌跡C交于A，B兩點．若A是PB的中點，求|AB|．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接由題目給出的條件列式化簡即可得到動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）經(jīng)分析當直線m的斜率不存在時，不滿足A是PB的中點，然后設出直線m的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后整理，利用根與系數(shù)關系寫出y₁+y₂，y₁y₂，結(jié)合y₁y₂得到關于m的方程，則直線m的斜率可求，即可求|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）∵動點M（x，y）到直線l：y=4的距離是它到點N（0，1）的距離的2倍，
∴|y-4|=2

x2+(y-1)2

，
∴

x2

3

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由A是PB的中點，得2x₁=3+x₂，y₁y₂．
由題意，直線m的斜率k存在．設直線m的方程為：x=my+3．
代入橢圓方程可得：（3+4m²）y²+24my+24=0，
∴y₁+y₂=-

24m

3+4m2

，y₁y₂=

24

3+4m2

，
因為2y₁=y₂．
則

(y1+y2)2-2y1y2

y1y2

=

5

2

，
代入整理可得

(-24m)2

(3+4m2)•24

=

9

2

解得m=±

3

2

．
∴|AB|=

1+m2

|y₁-y₂|=

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點評：本題考查了曲線方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了學生的計算能力，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，中點坐標公式進行求解，是中檔題．