Question

8．用一塊矩形鐵皮作圓臺形鐵桶的側(cè)面，要求鐵桶的上底半徑是24cm，下底半徑為16cm，母線長為48cm．
（1）求矩形鐵皮上邊的最小值；
（2）求該鐵桶的容積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓臺的側(cè)面展開圖的圓心角∠AOA′=α，OA=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出α，x的值，可得答案；
（2）根據(jù)已知求出圓臺的高，代入圓臺體積公式，可得答案．

解答 解：（1）如圖，設(shè)圓臺的側(cè)面展開圖的圓心角∠AOA′=α，OA=x，

由三角形相似可得$\frac{x}{x+48}$=$\frac{16}{24}$，
解得x=96 cm．
則$\frac{2π×24}{2π（96+48）}$=$\frac{α}{360°}$，
解得α=60°，
所以△BOB′為正三角形，那么BB′=OB=96+48=144 cm．
由下圖可知，矩形鐵皮長邊的最小值為144 cm．

（2）∵圓臺的上底半徑是24cm，下底半徑為16cm，母線長為48cm．
∴圓臺的高h=$\sqrt{{48}^{2}-（24-16）^{2}}$=8$\sqrt{35}$cm，
故圓臺的體積V=$\frac{1}{3}π$（24²+16²+24×16）×8$\sqrt{35}$=$\frac{9728}{3}\sqrt{35}$πcm³，
即該鐵桶的容積為$\frac{9728}{3}\sqrt{35}$πcm³．

點評 本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握圓臺的展開圖及相應(yīng)的體積表面積公式，是解答的關(guān)鍵．