Question

13．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（1，7），則實數(shù)c的值為9．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的值域得△=0，再根據(jù)不等式f（x）＜c的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出c的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），
∴函數(shù)f（x）的最小值為0，
即△=a²-4b=0，∴b=$\frac{1}{4}$a²；
又∵關(guān)于x的不等式f（x）＜c可化成x²+ax+b-c＜0，
即x²+ax+$\frac{1}{4}$a²-c＜0，
且不等式f（x）＜c的解集為（1，7），
∴方程x²+ax+$\frac{1}{4}$a²-c=0的兩根分別為x₁=1，x₂=7，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+7=-a}\\{1×7={\frac{1}{4}a}^{2}-c}\end{array}\right.$，
解得c=9．
故答案為：9．

點評 本題考查了二次函數(shù)與一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，
是基礎(chǔ)題目．