Question

17．奇函數(shù)f（x）=$\frac{m-g（x）}{n+g（x）}$的定義域為R，其中y=g（x）為指數(shù)函數(shù)，且過點（2，9）
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性，并用定義證明；
（Ⅲ）若對任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出g（x），再利用奇函數(shù)f（x）=$\frac{m-g（x）}{n+g（x）}$的定義域為R求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）在定義域上取值，再作差、變形，變形徹底后根據(jù)式子的特點，討論判斷符號、下結論；
（Ⅲ）根據(jù)奇函數(shù)的定義將不等式轉化，再分離函數(shù)解析式，求最小值，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設g（x）=a^x，過點（2，9），∴a=3，
∵奇函數(shù)f（x）=$\frac{m-g（x）}{n+g（x）}$的定義域為R，
∴f（-x）=$\frac{m-{3}^{-x}}{n+{3}^{-x}}$=-$\frac{m-{3}^{x}}{n+{3}^{x}}$，
∴m=1，n=1，
∴f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$在R上是單調遞減函數(shù)．
f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{3}^{x}}$
設x₁＜x₂，則有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1+{3}^{{x}_{1}}}$-$\frac{2}{1+{3}^{{x}_{2}}}$=2•$\frac{{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}}{（1+{3}^{{x}_{1}}）（1+{3}^{{x}_{2}}）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$在R上是單調遞減函數(shù)；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0，可化為t²+2t+k＜2t²-2t+5
即k＜t²-4t+5=（t-2）²+1
∵對任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0恒成立，
∴k＜1．

點評 本題主要考查了奇函數(shù)的定義的靈活應用，以及分離常數(shù)法，復合函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調性的應用，二次函數(shù)的性質的應用，較綜合，但難度不大，屬于中檔題．