Question

11．已知函數(shù)f（x）=[ax²-（5a+1）x+7a+3]e^x．
（1）若a=0，求函數(shù)f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義進行求解即可．
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行求解，注意要對a進行分類討論．

解答 解：（1）若a=0，則f（x）=（-x+3）e^x．則f（0）=3，即A（0，3），
f′（x）=（-x+2）e^x．f′（0）=2，
即函數(shù)f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程為y-3=2（x-0），即y=2x+3．
（2）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=[2ax-（5a+1）]e^x+[ax²-（5a+1）x+7a+3]e^x=[ax²-（3a+1）x+2a+2]e^x=（x-2）[ax-（a+1）]e^x，
①若a=0，則f′（x）=（-x+2）e^x．由f′（x）＞0得-x+2＞0，得x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（-∞，2），
由f′（x）＜0得-x+2＜0，得x＞2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即減區(qū)間為（2，+∞）．
②若a＞0，由f′（x）＞0得（x-2）[ax-（a+1）]＞0，即a（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0，
即（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0，
由$\frac{a+1}{a}$=2得a=1，此時不等式（x-2）（x-2）≥0，此時f′（x）≥0恒成立，即函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（-∞，+∞），
若a＞1，則$\frac{a+1}{a}$＜2，
由f′（x）＞0得（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0得x＞2或x＜$\frac{a+1}{a}$，此時函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（2，+∞），（-∞，$\frac{a+1}{a}$），
由f′（x）＜0得（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＜0，得$\frac{a+1}{a}$＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即減區(qū)間為（$\frac{a+1}{a}$，2）．
③若a＜0，由f′（x）＞0得（x-2）[ax-（a+1）]＞0，即a（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0，
即（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＜0，
此時$\frac{a+1}{a}$＜2，得不等式的解為$\frac{a+1}{a}$＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（$\frac{a+1}{a}$，2）．
由f′（x）＜0得a（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＜0得（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0，得x＞2或x＜$\frac{a+1}{a}$，
此時函數(shù)單調(diào)遞減，即減區(qū)間為（2，+∞），（-∞，$\frac{a+1}{a}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解和判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意要對a進行分類討論．