Question

17．過拋物線C：y²=2x的焦點(diǎn)F，且斜率為k（k＞0）的直線l交C于R，S兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{RF}$=2$\overrightarrow{FS}$，則k的值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖，設(shè)R，S兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為P，Q，過S作PR的垂SG，在三角形RSG中，∠SRG等于直線RS的傾斜角，其正切值即為k值，然后利用拋物線定義結(jié)合求解直角三角形求出直線RS的斜率得答案．

解答 解：如圖，設(shè)R，S兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為P，Q，
過S作PR的垂線SG，
在三角形RSG中，∠SRG等于直線RS的傾斜角，其正切值即為k，
設(shè)|SF|=n，∵$\overrightarrow{RF}$=2$\overrightarrow{FS}$，
∴|RF|=2|SF|，∴|RF|=2n，
根據(jù)拋物線的定義得：|PR|=2n，|SQ|=n，
∴|RG|=n，
在直角三角形RSG中，tan∠SRG=$\frac{|SG|}{|GR|}$=$\frac{\sqrt{9{n}^{2}-{n}^{2}}}{n}$=$2\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，特別是焦點(diǎn)弦問題，解題時(shí)要注意拋物線定義的靈活運(yùn)用，是中檔題．