Question

3．已知直線l：4x+3y+10=0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的上方
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P（1，1）的直線l₁被圓C截得的弦長等于2$\sqrt{3}$，求直線l₁的方程；
（3）過點(diǎn)M（1，0）的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），問在x軸正半軸上是否存在點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓心C坐標(biāo)，根據(jù)直線l與圓C相切，得到圓心到直線l的距離d=r，確定出圓心C坐標(biāo)，即可得出圓C方程；
（2）根據(jù)垂徑定理及勾股定理，由過點(diǎn)P（1，1）的直線l₁被圓C截得的弦長等于2$\sqrt{3}$，分直線l₁斜率存在與不存在兩種情況求出直線l₁的方程即可；
（3）當(dāng)直線AB⊥x軸，則x軸平分∠ANB，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=k（x-1），聯(lián)立圓與直線方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，由若x軸平分∠ANB，則k_AN=-k_BN，求出t的值，確定出此時(shí)N坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)圓心C（a，0）（a＞-$\frac{5}{2}$），
∵直線l：4x+3y+10=0，半徑為2的圓C與l相切，
∴d=r，即$\frac{|4a+10|}{5}$=2，
解得：a=0或a=-5（舍去），
則圓C方程為x²+y²=4；
（2）由題意可知圓心C到直線l₁的距離為$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
若直線l₁斜率不存在，則直線l₁：x=1，圓心C到直線l₁的距離為1；
若直線l₁斜率存在，設(shè)直線l₁：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，
則有$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即k=0，此時(shí)直線l₁：y=1，
綜上直線l₁的方程為x=1或y=1；
（3）當(dāng)直線AB⊥x軸，則x軸平分∠ANB，
若x軸平分∠ANB，則k_AN=-k_BN，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，$\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-t}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}-t}$=0，
整理得：2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0，即$\frac{2（{k}^{2}-4）}{{k}^{2}+1}$-$\frac{2{k}^{2}（t+1）}{{k}^{2}+1}$+2t=0，
解得：t=4，
當(dāng)點(diǎn)N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM總成立．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及斜率的計(jì)算，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．