Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且滿足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}}，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，設數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，{b_n}是等比數(shù)列，設公比為q，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，進而得到所求的通項公式；
（2）求得cn，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和和錯位相減法，即可得到所求和．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，{b_n}是等比數(shù)列，設公比為q，
由題意可得q+6+d=10，3+4d-2q=3+2d，
解得d=q=2，
則數(shù)列{a_n}的通項為a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
和{b_n}的通項為b_n=b₁q^n-1=2^n-1；
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}}，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{n（n+2）}，n為奇數(shù)}\\{（2n+1）•{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
則T_2n=[$\frac{2}{1×3}$+$\frac{2}{3×5}$+…+$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$]+[5•2+9•2³+…+（4n+1）•2^2n-1]，
由S=$\frac{2}{1×3}$+$\frac{2}{3×5}$+…+$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$
=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$；
由T=5•2+9•2³+…+（4n+1）•2^2n-1，
4T=5•8+9•2⁵+…+（4n+1）•2²ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-3T=10+4（8+32+…+2^2n-1）-（4n+1）•2²ⁿ⁺¹
=10+4•$\frac{8（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（4n+1）•2²ⁿ⁺¹，
化簡可得，T=$\frac{2-（1-12n）•{2}^{2n+1}}{9}$．
則有T_2n=$\frac{2n}{2n+1}$+$\frac{2-（1-12n）•{2}^{2n+1}}{9}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．