Question

12．若x，y∈R，且3x²+2y²=6，則x+y的最大值是$\sqrt{5}$，x²+y²的最小值是2．

Answer 1

分析 先將條件化為：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$，再運(yùn)用三角換元和輔助角公式求x+y，x²+y²的最值．

解答 解：方程3x²+2y²=6可寫成：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$，
故設(shè)x=$\sqrt{2}$cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，
所以，x+y=$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{3}$sinθ
=$\sqrt{5}$sin（θ+φ）∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]，
因此，x+y的最大值為：$\sqrt{5}$，
又x²+y²=2cos²θ+3sin²θ=2+sin²θ∈[2，3]，
所以，x²+y²的最小值為2，
故答案為：$\sqrt{5}$；2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角換元在求最值中的應(yīng)用，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和輔助角公式，屬于中檔題．