Question

14．下列命題中正確的個數(shù)是（　�。�
①若λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，則λ=μ=0；
②若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$的投影為|$\overrightarrow{a}$|；
③若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²；
④tan40°tan15°+tan15°tan35°+tan35°tan40°=1；
⑤cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$=-$\frac{1}{8}$；
⑥在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則△ABC一定是等腰三角形．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 討論向量共線和不共線，即可判斷①；討論向量同向共線和反向共線，即可判斷②；
由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可判斷③；運用兩角和的正切公式的變形，即可判斷④；
運用二倍角的正弦公式和誘導公式，即可判斷⑤；運用誘導公式和兩角和的正弦公式，即可判斷⑥．

解答 解：對于①，當$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線時，若λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，則λ=μ=0，故①錯誤；
對于②，當向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$同向時，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$的投影為|$\overrightarrow{a}$|，故②錯誤；
對于③，若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²，故③正確；
對于④，tan40°tan15°+tan15°tan35°+tan35°tan40°=tan15°（tan40°+tan35°）+
tan35°tan40°=tan15°tan75°（1-tan35°tan40°）+tan35°tan40°=1-tan35°tan40°
+tan35°tan40°=1，故④正確；
對于⑤，cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$=$\frac{1}{2}$•2sin$\frac{π}{7}$cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$•$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$=$\frac{1}{2}$sin$\frac{2π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$•$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$
=$\frac{1}{4}$sin$\frac{4π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$•$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$=$\frac{1}{8}$sin$\frac{8π}{7}$•$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$=-$\frac{1}{8}$，故⑤正確；
對于⑥，在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，即為sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
即有tanA=tanB，可得A=B，則△ABC一定是等腰三角形，故⑥正確．
綜上可得，正確的個數(shù)為4．
故選：C．

點評 本題考查向量的共線和數(shù)量積的性質(zhì)的運用，考查三角函數(shù)的化簡求值，注意運用兩角和的正弦公式和二倍角公式，考查三角形的形狀的判斷，屬于中檔題．