Question

10．奇函數(shù)f（x）滿足件f（x+2）+f（x）=0，（x∈R），若x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x-1，則f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$125）=-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和條件判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
又∵f（x+2）+f（x）=0，
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
log${\;}_{\frac{1}{8}}$125=$\frac{lo{g}_{2}{5}^{3}}{lo{g}_{2}\frac{1}{8}}$=$\frac{3lo{g}_{2}5}{-3}$=-log₂5，
則f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$125）=f（-log₂5）=-f（log₂5），
∵2＜log₂5＜3，
∴0＜log₂5-2＜1，
即0＜log₂$\frac{5}{4}$＜1，
則f（log₂$\frac{5}{4}$）=${2}^{lo{g}_{2}\frac{5}{4}}$-1=$\frac{5}{4}$-1=$\frac{1}{4}$，
即f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$125）=f（-log₂5）=-f（log₂5）=-$\frac{1}{4}$，
 故答案為：-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的計(jì)算，考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用以及利用周期性求函數(shù)值，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．