Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+a，g（x）=2^x+$\frac{1}{2}$ax．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性（不必給出證明）；
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，求f（x）的最小值；
（3）若a＞0，對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a討論，a=0，a≠0時(shí)，即可得到所求奇偶性；
（2）求出對(duì)稱軸方程，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，可得最小值；
（3）由題意可得f（x₁）_min≥g（x₂）_max，分別求得f（x），g（x）的最小值，注意運(yùn)用單調(diào)性，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）f（x）=x²+ax+a的對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤0，即a≥0時(shí)，區(qū)間[0，1]為增區(qū)間，即有f（0）取得最小值a；
當(dāng)-$\frac{a}{2}$≥1，即a≤-2時(shí)，區(qū)間[0，1]為減區(qū)間，即有f（1）取得最小值1+2a：
當(dāng)0＜-$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜0時(shí)，f（x）取得最小值f（-$\frac{a}{2}$）=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
綜上可得，f（x）的最小值h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1+2a，a≤-2}\\{a-\frac{{a}^{2}}{4}，-2＜a＜0}\\{a，a≥0}\end{array}\right.$；
（3）若a＞0，對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
即有f（x₁）_min≥g（x₂）_max，
由f（x）在a＞0，x∈[0，1]的最小值為a；
g（x）=2^x+$\frac{1}{2}$ax在a＞0，x∈[0，1]遞增，可得g（1）取得最大值，且為2+$\frac{1}{2}$a．
即有a≥2+$\frac{1}{2}$a，解得a≥4．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．