Question

17．陽(yáng)澄湖大閘蟹的上市規(guī)格為：特級(jí)雄蟹≥200g，雄蟹≥150g，一級(jí)雄蟹≥150g，雌蟹≥125g；二級(jí)雄蟹≥125g，雌蟹≥100g．現(xiàn)從某批上市的大閘蟹中隨機(jī)抽取100只，得到的數(shù)據(jù)如下：

	雄蟹			雌蟹
等級(jí)	特級(jí)	一級(jí)	二級(jí)	特級(jí)	一級(jí)	二級(jí)
只數(shù)	30	a	10	20	10	b

（1）根據(jù)雌雄按分層抽樣的方法從這100只大閘蟹中抽取20只，若雌蟹有8只，求a，b的值；
（2）按樣本估計(jì)總體的方法從這批上市的大閘蟹中有放回地隨機(jī)抽取3只，記特級(jí)雄蟹的只數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雌雄按分層抽樣的方法能求出a，b的值．
（2）從這批上市的大閘蟹中有放回地隨機(jī)抽取3只，記特級(jí)雄蟹的只數(shù)為X，則X～B（3，0.3），由此能求出X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）根據(jù)雌雄按分層抽樣的方法從這100只大閘蟹中抽取20只，雌蟹有8只，
∴$\frac{20+10+b}{100}$×20=8，解得b=10，
$\frac{30+a+10}{100}$×20=12，解得a=20．
（2）從這批上市的大閘蟹中有放回地隨機(jī)抽取3只，每次取到特級(jí)雄蟹的概率p=0.3，
從這批上市的大閘蟹中有放回地隨機(jī)抽取3只，記特級(jí)雄蟹的只數(shù)為X，則X～B（3，0.3），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（0.7）^{3}$=0.343，
P（X=1）=C${\;}_{3}^{1}$（0.3）（0.7）²=0.441，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（0.3）^{2}（0.7）$=0.189，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（0.3）^{3}$=0.027，
∴X的數(shù)學(xué)期望EX=3×0.3=0.9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．