Question

20．已知f（x）=sin$\frac{nπ}{4}$，n∈Z
（1）求證：f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…f（16）；
（2）求f（1）+f（2）+…f（2009）的值．

Answer 1

分析 （1）f（n）=sin$\frac{nπ}{4}$為周期函數(shù)，且T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，即有f（n+8）=f（n），即可得證；
（2）求出f（1），f（2），…f（8）的值，再由周期8，算出2009項中周期的個數(shù)，即可計算．

解答 解：（1）證明：f（n）=sin$\frac{nπ}{4}$為周期函數(shù)，且T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，即有f（n+8）=f（n），
則f（9）=f（1），f（10）=f（2），…，f（16）=f（8），
則有f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）；
（2）解：由于f（1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（2）=sin$\frac{π}{2}$=1，f（3）=sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（4）=sinπ=0，
f（5）=sin$\frac{5π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（6）=sin$\frac{3π}{2}$=-1，f（7）=sin$\frac{7π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（8）=sin2π=0．
則f（1）+f（2）+…+f（8）=0，
且2009=8×251+1，
則f（1）+f（2）+…+f（2009）=f（1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的周期性及運用，考查三角函數(shù)的求值，考查運算能力，屬于中檔題．