Question

9．已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（I）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的對稱軸和對稱中心；
（3）若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）首先通過三角關(guān)系式的恒等變換變形成正弦型函數(shù)，進一步求出單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心，對稱軸求解．
（3）利用函數(shù)的定義域，單調(diào)性求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．

令$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z
解得：$-\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈z
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{5π}{12}$+kπ，x≤$\frac{π}{12}$+kπ]（k∈Z）
（2）∵2x+$\frac{π}{3}$=kπ．x=$\frac{kπ}{2}$$-\frac{π}{6}$，k∈z，2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$．x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{12}$，k∈z，
∴對稱中心（$\frac{kπ}{2}$$-\frac{π}{6}$，0）k∈z，對稱軸x═$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{12}$，k∈z，
（3）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴令$-\frac{π}{6}$≤2x$+\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1．
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤2
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域為[-1，2]．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)求解單調(diào)區(qū)間和最值的求法，函數(shù)值域．