Question

13．在平面直角坐標系中xOy中，直線l的斜率為k且過點（0，$\sqrt{2}$），直線l與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$相交于兩點P和Q．
（Ⅰ）求斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）若點M為線段PQ的中點，橢圓C分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B，問是否存在斜率k，使得$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{AB}$共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{2}$，與橢圓方程聯(lián)立化為$（\frac{1}{2}+{k}^{2}）{x}^{2}$+2$\sqrt{2}$kx+1=0，由于直線與橢圓有兩個交點，可得△＞0，解出即可得出．
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），利用$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{AB}$共線，及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（I）直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{2}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為$（\frac{1}{2}+{k}^{2}）{x}^{2}$+2$\sqrt{2}$kx+1=0，
∵直線與橢圓有兩個交點，
∴△=8k²-4$（\frac{1}{2}+{k}^{2}）$=4k²-2＞0，
解得$k＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴斜率k的取值范圍是$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$∪$（\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由（I）可得：x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2$\sqrt{2}$，
A$（\sqrt{2}，0）$，B（0，1），$\overrightarrow{AB}$=$（-\sqrt{2}，1）$．
∵$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{AB}$共線，
∴x₁+x₂=-$\sqrt{2}$（y₁+y₂）=-$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）-4，
∴$（1+\sqrt{2}k）×\frac{-4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$=-4，解得k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由（I）可得：$k＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴不存在斜率k，使得$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{AB}$共線．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．