Question

3．我國政府對PM2.5采用如下標準：某市環(huán)保局從一年365天的市區(qū)PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．

PM2.5日均值m（微克/立方米）	空氣質(zhì)量等級
m＜35	一級
35≤m≤75	二級
m＞75	超標

（1）求這10天數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（2）從這10天數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)，記ξ為空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)，求ξ的分布列和期望；
（3）以這10天的數(shù)據(jù)來估計這一年365天的空氣質(zhì)量情況，并假定每天之間的空氣質(zhì)量相互不影響．記η為這一年中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)，求η的平均值．

Answer 1

分析 （1）10天的中位數(shù)為（38+44）÷2；
（2）由于ξ～H（10，4，4），所以$P（ξ=k）=\frac{{C_4^k•C_6^{4-k}}}{{C_{10}^4}}\;（k=0，1，2，3，4）$，即可求ξ的分布列和期望；
（3）一年中每天空氣質(zhì)量達到一級的概率為$\frac{2}{5}$，由$η～B（365，\frac{2}{5}）$，得到$Eη=365×\frac{2}{5}=146$（天）．

解答 解：（1）10天的中位數(shù)為（38+44）÷2=41（微克/立方米）…（2分）
（2）由于ξ～H（10，4，4），所以$P（ξ=k）=\frac{{C_4^k•C_6^{4-k}}}{{C_{10}^4}}\;（k=0，1，2，3，4）$，
即得分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{15}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{1}{210}$

…（7分）
所以$Eξ=\frac{4×4}{10}=1.6$…（9分）
（3）一年中每天空氣質(zhì)量達到一級的概率為$\frac{2}{5}$，由$η～B（365，\frac{2}{5}）$，得到$Eη=365×\frac{2}{5}=146$（天），
所以一年中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)平均為146天…（12分）

點評 本題考查中位數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法和應(yīng)用，解題時要注意莖葉圖的合理運用，充分利用樣本估計總體解決．