Question

1．求曲線C₁：y=$\frac{1}{x}$與曲線C₂：y═-x²的公切線方程．

Answer 1

分析 設(shè)出兩切點，分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線的斜率，可得切線的方程，再由公切線的概念，解方程即可得到所求．

解答 解：設(shè)與曲線C₁：y=$\frac{1}{x}$相切的切點為（m，$\frac{1}{m}$），
與曲線C₂：y=-x²的相切的切點為（n，-n²），
由y=$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，可得切線斜率為k₁=-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
即有切線的方程為y-$\frac{1}{m}$=-$\frac{1}{{m}^{2}}$（x-m），即為y=-$\frac{1}{{m}^{2}}$x+$\frac{2}{m}$；
由y=-x²的導(dǎo)數(shù)為y′=-2x，可得切線的斜率為k₂=-2n，
即有切線的方程為y+n²=-2n（x-n），即為y=-2nx+n²．
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{-2n=-\frac{1}{{m}^{2}}}\\{{n}^{2}=\frac{2}{m}}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{2}$，n=2，即有公切線的方程為y=4-4x．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查直線方程的運用和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算能力，屬于中檔題．