Question

8．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且當0≤x≤1時，f（x）=-log₂（x²+k）（k＞0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）試求不等式f（2x²）+f（-2-3x）≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）由f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，便可得到f（0）=0，這樣即可求出k=1，然后可設-1≤x＜0，從而0＜-x≤1，根據(jù)條件即可求出f（-x）=$-lo{g}_{2}（{x}^{2}+1）$，從而求出-1≤x＜0時的f（x），用分段函數(shù)即可寫出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）的解析式以及復合函數(shù)、分段函數(shù)單調(diào)性的判斷即可得出f（x）在定義域[-1，1]上為減函數(shù)，而由原不等式得f（2x²）≥f（2+3x），從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2{x}^{2}≤1}\\{-1≤2+3x≤1}\\{2{x}^{2}≤2+3x}\end{array}\right.$，這樣解該不等式組便可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）依題意得f（0）=0，即-log₂k=0；
∴k=1；
設-1≤x＜0，則0＜-x≤1，則：$f（-x）=-lo{g}_{2}（{x}^{2}+1）=-f（x）$；
∴$f（x）=lo{g}_{2}（{x}^{2}+1）$；
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{x}^{2}+1）}&{-1≤x＜0}\\{-lo{g}_{2}（{x}^{2}+1）}&{0≤x≤1}\end{array}\right.$；
（2）t=x²+1在[-1，0）上單調(diào)遞減，y=log₂t為增函數(shù)；
∴f（x）在[-1，0）上為減函數(shù)，同理f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，且x=0時，$lo{g}_{2}（{0}^{2}+1）=-lo{g}_{2}（{0}^{2}+1）$；
∴f（x）為[-1，1]上的減函數(shù)；
∵f（x）為[-1，1]上的奇函數(shù)，∴原不等式可化為f（2x²）≥f（2+3x）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2{x}^{2}≤1}\\{-1≤2+3x≤1}\\{2{x}^{2}≤2+3x}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{2}≤x≤-\frac{1}{3}$；
即原不等式的解集為$[-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}]$．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，對于奇函數(shù)，已知一區(qū)間上的解析式，求其對稱區(qū)間上的解析式的方法，復合函數(shù)和分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式的方法．