Question

6．直線1：x+y=t與圓O：x²+y²=20交于點(diǎn)A，B，且S_△OAB為整數(shù)，則所有滿足條件的正整數(shù)t的和為8．

Answer 1

分析 聯(lián)立方程得到方程組，消元得到2x²-2tx+t²-20=0，由韋達(dá)定理表示S_△OAB，利用S_△OAB為整數(shù)，t是正整數(shù)，求出t，即可求出所有滿足條件的正整數(shù)t的和．

解答 解：聯(lián)立直線x+y=t與圓O：x²+y²=20，消掉y并整理得：2x²-2tx+t²-20=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=t，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-20}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{t}^{2}-4•\frac{{t}^{2}-20}{2}}$，
圓心到直線的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{{t}^{2}-4•\frac{{t}^{2}-20}{2}}$•$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|t|}{2}\sqrt{40-{t}^{2}}$，
∵S_△OAB為整數(shù)，t是正整數(shù)，
∴t=2，6，
∴所有滿足條件的正整數(shù)t的和為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，注意韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題．