Question

2．若f（x）=1-2a-2asinx-2cos²x的最小值為g（a）．
（1）求g（a）的表達式
（2）當g（a）=$\frac{1}{2}$時，求a的值，并求此時f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$2{（sinx-\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{2}-2a-1$，對a分類討論，利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）若$g（a）=\frac{1}{2}$，由（1）知：$-\frac{a^2}{2}-2a-1=\frac{1}{2}$或$-4a+1=\frac{1}{2}$，分別解出即可得出．

解答 解：（1）f（x）=1-2a-2asinx-2cos²x=2sin²x-2asinx-2a-1=$2{（sinx-\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{2}-2a-1$，
①若$\frac{a}{2}＜-1，即a＜-2$，則當sinx=-1時，f（x）有最小值g（a）=$2（-1-\frac{a}{2}）^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=1；
②若$-1≤\frac{a}{2}≤1$，即-2≤a≤2，則當$sinx=\frac{a}{2}$時，
f（x）有最小值g（a）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1；
③$\frac{a}{2}＞1，即a＞2$，則當sinx=1時，f（x）有最小值$g（a）=2{（1-\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{2}-2a-1=-4a+1$．
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}1，a＜-2\\-\frac{a^2}{2}-2a-1\\-4a+1，a＞2\end{array}\right.，-2≤a≤2$．
（2）若$g（a）=\frac{1}{2}$，由（1）知：$-\frac{a^2}{2}-2a-1=\frac{1}{2}$或$-4a+1=\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}-2≤a≤2\\-\frac{a^2}{2}-2a-1=\frac{1}{2}\end{array}\right.⇒a=-1或3（舍）$，
$\left\{\begin{array}{l}a≥2\\-4a+1=\frac{1}{2}\end{array}\right.⇒a=-\frac{1}{8}（舍）$，
此時$f（x）=2{（sinx+\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{2}$，得f（x）_max=5．

點評 本題考查了二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于中檔題．