14.如圖所示在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),M,N分別為DC,A1B1,AC,BB1的中點(diǎn)
(1)求證:EF⊥D1B;
(2)求證:MN∥平面AB1C1

分析 (1)建立空間坐標(biāo)系,求出EF,D1B的方向向量,利用向量法,可得答案;
(2)求出MN的方向向量,取AC1的中點(diǎn)O的坐標(biāo),求出向量$\overrightarrow{O{B}_{1}}$,結(jié)合線面平行的判定定理,可得答案.

解答 證明:(1)令長方體ABCD-A1B1C1D1的各棱長為2,建立如圖所示的空間坐標(biāo)系,

∵E,F(xiàn)為DC,A1B1的中點(diǎn),
∴E(1,2,2),F(xiàn)(1,0,0),D1(0,2,0),B(2,0,2),
∴$\overrightarrow{EF}$=(0,-2,-2),$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=(2,-2,2),
∵$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=4-4=0,
∴$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{{D}_{1}B}$,
即EF⊥D1B;
(2)∵M(jìn),N分別為AC,BB1的中點(diǎn)
∴M(1,1,2),N(2,0,1),B1(2,0,0),AC1的中點(diǎn)O的坐標(biāo)為(1,1,1),
∵$\overrightarrow{MN}$=(1,-1,-1),$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=(1,-1,-1),
∴$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{O{B}_{1}}$;
又∴MN?平面AB1C1,OB1?平面AB1C1
∴MN∥平面AB1C1

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定,異面直線的夾角,難度中檔.

練習(xí)冊系列答案
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4.已知f(x-1)是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,下列說法正確的是( 。
A.$f({{2^{\frac{1}{x}}}})>f({{{({\frac{1}{8}})}^2}})>f({{{log}_2}({\frac{1}{8}})})$B.$f({{{({\frac{1}{8}})}^2}})>f({{2^{\frac{1}{x}}}})>f({{{log}_2}({\frac{1}{8}})})$
C.$f({{2^{\frac{1}{x}}}})>f({{{log}_2}({\frac{1}{8}})})>f({{{({\frac{1}{8}})}^2}})$D.$f({{{({\frac{1}{8}})}^2}})>f({{{log}_2}({\frac{1}{8}})})>f({{2^{\frac{1}{x}}}})$

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5.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A≠0,ω>0,-π<ϕ<0)在$x=\frac{2π}{3}$時(shí)取得最大值,且它的最小正周期為π,則(  )
A.f(x)的圖象過點(diǎn)$(0,\frac{1}{2})$B.f(x)在$[{\frac{π}{6},\frac{2π}{3}}]$上是減函數(shù)
C.f(x)的一個(gè)對稱中心是$({\frac{5π}{12},0})$D.f(x)的圖象的一條對稱軸是$x=\frac{5π}{12}$

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2.若f(x)=1-2a-2asinx-2cos2x的最小值為g(a).
(1)求g(a)的表達(dá)式
(2)當(dāng)g(a)=$\frac{1}{2}$時(shí),求a的值,并求此時(shí)f(x)的最大值.

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9.已知m,n是直線,α,β,γ是平面,給出下列說法
①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n⊥α或者n⊥β
②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,則m∥n
③若m不垂直于α,則m不可能垂直于α內(nèi)的無數(shù)條直線.
④若α∩β=m,m∥n且n?α,n?β,則n∥β
以上說法正確的序號為②④.

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19.觀察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…由此可推測出一個(gè)一般性的結(jié)論:對于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1=n2

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6.直線y=kx+3與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$只有一個(gè)公共點(diǎn),則滿足條件的k值有( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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3.計(jì)算:
(1)$\root{3}{(-2)^{3}}$-($\frac{1}{3}$)0+0.25${\;}^{\frac{1}{2}}$×($\frac{-1}{\sqrt{2}}$)-4;          
(2)lg25+lg50•lg2+(lg2)2

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4.已知集合A={x|y=lg(x-1)},B={x|x2-4≤0},則A∩B=( 。
A.{x|1<x<2}B.{x|1≤x≤3}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}

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