Question

14．如圖所示在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，M，N分別為DC，A₁B₁，AC，BB₁的中點(diǎn)
（1）求證：EF⊥D₁B；
（2）求證：MN∥平面AB₁C₁．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標(biāo)系，求出EF，D₁B的方向向量，利用向量法，可得答案；
（2）求出MN的方向向量，取AC₁的中點(diǎn)O的坐標(biāo)，求出向量$\overrightarrow{O{B}_{1}}$，結(jié)合線面平行的判定定理，可得答案．

解答 證明：（1）令長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱長為2，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

∵E，F(xiàn)為DC，A₁B₁的中點(diǎn)，
∴E（1，2，2），F(xiàn)（1，0，0），D₁（0，2，0），B（2，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（2，-2，2），
∵$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=4-4=0，
∴$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{{D}_{1}B}$，
即EF⊥D₁B；
（2）∵M(jìn)，N分別為AC，BB₁的中點(diǎn)
∴M（1，1，2），N（2，0，1），B₁（2，0，0），AC₁的中點(diǎn)O的坐標(biāo)為（1，1，1），
∵$\overrightarrow{MN}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（1，-1，-1），
∴$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{O{B}_{1}}$；
又∴MN?平面AB₁C₁，OB₁?平面AB₁C₁．
∴MN∥平面AB₁C₁．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，異面直線的夾角，難度中檔．