12．在三棱錐P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，則定點P在底面的投影是底面△ABC的垂心．

分析 由PB⊥PA，PB⊥PC，可證PB⊥平面PAC，可得PB⊥AC，又PO⊥AC，可證AC⊥平面PB，即可證明AC⊥BO，同理可證明AO⊥BC，從而可證O為垂心．

解答 證明：設O是P在面ABC上的投影，
∵PB⊥PA，PB⊥PC，
∴PB⊥平面PAC，
∴PB⊥AC，①
又∵O是P在面ABC上的射影，
則PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AC，②
由①②可得：AC⊥平面PB，
∴AC⊥BO，
同理可以證明：AO⊥BC，
∴O是△ABC的垂心．
故答案為：垂．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定和性質，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．在△ABC中，“$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0”是“△ABC是直角三角形”的（　�。�
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．下表給出了從某校500名12歲的男生中用簡單隨機抽樣得出的120人的身高資料（單位：厘米）：
區(qū)間界限[122，126）[126，130）[130，134）[134，138）[138，142）
人數(shù)58102233
區(qū)間界限[142，146）[146，150）[150，154）[154，158）
人數(shù)201165
（1）列出樣本的頻率分布表； 
（2）畫出頻率分布直方圖；
（3）估計身高低于134厘米的人數(shù)占總人數(shù)的百分比和身高在區(qū)間[134，146）（厘米）內的人數(shù)占總人數(shù)的百分比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

20．求值：cos$\frac{5}{4}$π=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．f（x）=cosx-sinx在下列哪個區(qū)間上是單調遞減的（　�。�
A．$[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]$B．[-π，0]C．[0，π]D．$[{0，\frac{π}{4}}]$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．已知F1和F2是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，O為坐標原點，點P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在該橢圓上，且PF1⊥x軸．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過點A（2，0）作直線l交橢圓于不同的兩點B，C，證明：不存在直線l，使得|BF2|=|CF2|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．已知正方體的棱長為2，則該正方體外接球的體積為（　�。�
A．$\frac{4π}{3}$B．4πC．4$\sqrt{3}$πD．$\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$恰好被面積最小的圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2及其內部所覆蓋．
（1）作出該不等式組所確定的平面區(qū)域試，并求圓C的方程．
（2）若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點A，B，滿足CA⊥CB，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

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