Question

10．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是短軸長為6的橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+${\frac{y}{b^2}^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線交橢圓E于A，B兩點，且△ABF₂的周長為16．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點P為E上一點，若PF₁=3，求PF₂的長度．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的a=4，由橢圓的定義可得，|CF₁|+|CF₂|=|DF₁|+|DF₂|=2a，即可得到周長為4a，計算即可得到所求；
（2）由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=8，計算即可得到PF₂的長度．

解答 解：（1）由題意可得橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+${\frac{y}{b^2}^2}$=1的b=3，
由橢圓的定義可得，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
即有△F₂AB的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|
=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=16．解得a=4，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）點P為E上一點，若|PF₁|=3，
由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=8，
即有|PF₂|=8-|PF₁|=8-3=5．
則PF₂的長度為5．

點評 本題考查橢圓的定義和方程，主要考查定義法的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．