Question

4．在△ABC中，角A為鈍角，AB=3，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=12，當(dāng)角C最大時，△ABC的面積等于（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 5
• D． $\frac{15}{2}$

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，如圖，設(shè)∠CAD=θ，∠ABC=β，∠BCA=α，根據(jù)向量的幾何意義可得BD=4，分別求出tanθ=y，tanβ=$\frac{y}{4}$，根據(jù)兩角和的正切公式，求出tanα的最大值，即可求出△ABC的面積．

解答 解：建立坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)∠CAD=θ，∠ABC=β，∠BCA=α，C（x，y），
∵$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=12，
∴acosβ=4，
即（其幾何意義）：點C在AB方向上的正投影長度始終為4，
∴BD=4，
即AD=1，
∴tanθ=y，tanβ=$\frac{y}{4}$，
∴tanθ=tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，
∴y=$\frac{tanα+\frac{y}{4}}{1-\frac{y}{4}tanα}$，
∴tanα=$\frac{3}{\frac{4}{y}+y}$，
∵$\frac{4}{y}$+y≥2$\sqrt{\frac{4}{y}•y}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)y=2取等號，
∴tanα≥2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×2=3．

點評 本題考查了向量的幾何意義，以及解三角形和正切函數(shù)的和差公式，基本不等式，屬于中檔題．