Question

14．在一個(gè)有窮數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間添加一項(xiàng)，使其等于兩相鄰項(xiàng)的和，我們把這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“H擴(kuò)展”．已知數(shù)列1，2．第一次“H擴(kuò)展”后得到1，3，2；第二次“H擴(kuò)展”后得到1，4，3，5，2．那么第10次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（　�。�

• A． 1023
• B． 1025
• C． 513
• D． 511

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=2，從而可得{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而解得．

解答 解：設(shè)第n次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為a_n，
則第n+1次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為a_n+1=2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=2，
又∵a₁-1=3-1=2，
∴{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ+1，
∴a₁₀=2¹⁰+1=1025；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，關(guān)鍵在于構(gòu)造等比數(shù)列．