Question

15．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個(gè)零點(diǎn)，且1是其中一個(gè)零點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=-3x²+2ax+b，通過函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷極小值點(diǎn)，求出b即可．
（Ⅱ）通過函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，得到c=a-1，通過導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的單調(diào)性求解c范圍．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=-x³+ax²+bx+c
所以f′（x）=-3x²+2ax+b…（2分）
因?yàn)閒（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取到極小值，
即f′（0）=0…（4分）
所以b=0…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=-x³+ax²+c
因?yàn)?是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，即f（1）=0
所以c=a-1…（7分）
因?yàn)閒′（x）=-3x²+2ax=0的兩個(gè)根分別為x₁=0，${x_2}=\frac{2a}{3}$…（8分）
又f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）在R上有三個(gè)零點(diǎn)，
所以${x_2}=\frac{2a}{3}＞1$，即$a＞\frac{3}{2}$．…（10分）
所以$c=a-1＞\frac{1}{2}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．