Question

4．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C₁D的中點(diǎn)，P是棱CC₁所在直線上的動(dòng)點(diǎn)．則下列四個(gè)命題：
①CD⊥PE
②EF∥平面ABC₁
③${V_{P-{A_1}D{D_1}}}={V_{{D_1}-ADE}}$
④不存在過(guò)P的直線與正四棱柱的各個(gè)面都成等角．
其中正確命題的序號(hào)是①③（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 根據(jù)標(biāo)榜的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，錐體的體積公式，直線與平面的夾角等知識(shí)點(diǎn)，分別判斷4個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：在①中：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C₁D的中點(diǎn)，P是棱CC₁所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，
∴CD⊥平面ECC₁，又PE?平面ECC₁，∴CD⊥PE，故①正確；
在②中：EF?平面EC₁D，延長(zhǎng)C₁E與B₁B交于H，連接DH，得DH平行于EF，
DH與平面ABC₁相交，故②EF∥平面ABC₁不正確；
在③中：${V}_{P-{A}_{1}D{D}_{1}}$=$\frac{1}{6}$${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$，${V}_{{D}_{1}-ADE}$=$\frac{1}{6}$${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$，
故③${V_{P-{A_1}D{D_1}}}={V_{{D_1}-ADE}}$正確；
在④中：過(guò)P做一條與以ABCD為底面的正方體的對(duì)角線平行的直線，
則該直線與正四棱柱的各個(gè)面都成等角．故④不正確；
故正確命題的序號(hào)為：①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線面垂直的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，錐體的體積公式，直線與平面的夾角，是立體幾何知識(shí)的綜合考查，是中檔題．