Question

8．（1）橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，焦點(diǎn)是（-3，0），（3，0），求該橢圓方程；
（2）雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，c=6，且過點(diǎn)A（-5，2），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，焦點(diǎn)是（-3，0），（3，0），求出a，c，可得b，即可求該橢圓方程；
（2）設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞0，b＞0，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，由此能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．其離心率．

解答 解：（1）∵橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，焦點(diǎn)是（-3，0），（3，0），
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=3，
∴a=6，
∴b²=27，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1；
（2）由題意，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得a²=20，b²=16，
∴所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查待定系數(shù)法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．