Question

18．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為S_n，且數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)lgb_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$（n∈N^*），問：b₁，b_k，b_m（k，m均為正整數(shù)，且1＜k＜m）能否成等比數(shù)列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，結(jié)合題意求出通項(xiàng)a_n；
（2）假設(shè)存在正整數(shù)組k和m，使b₁、b_k，b_m成等比數(shù)列，得出lgb₁，lgb_klg，b_m成等差數(shù)列，由此求出滿足條件的正整數(shù)k和m的值．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
因?yàn)閍₁=1，所以a₂=1+d，a₃=1+2d，從而S₂=2+d，
S₃=3+3d，因?yàn)閿?shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，
所以2×$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$，即$\frac{2（2+d）}{1+d}$=1+$\frac{3+3d}{1+2d}$，
化簡(jiǎn)得d²-d=0，而d≠0，所以d=1；
故a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）假設(shè)存在正整數(shù)組k和m，使b₁、b_k、b_m成等比數(shù)列，
則lgb₁，lgb_k，lgb_m成等差數(shù)列，
于是$\frac{2k}{{3}^{k}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{m}{{3}^{m}}$，
所以m=3^m（$\frac{2k}{{3}^{k}}$-$\frac{1}{3}$）…（*）；
易知k=2，m=3滿足（*）；
因?yàn)閗≥3，且k∈N^*時(shí)，$\frac{2（k+1）}{{3}^{k+1}}$-$\frac{2k}{{3}^{k}}$=$\frac{2-4k}{{3}^{k+1}}$＜0；
數(shù)列{$\frac{2k}{{3}^{k}}$}（k≥3，k∈N）為遞減數(shù)列，
于是$\frac{2k}{{3}^{k}}$-$\frac{1}{3}$≤$\frac{2×3}{{3}^{3}}$-$\frac{1}{3}$＜0，
所以，當(dāng)k≥3時(shí)，不存在正整數(shù)k和m滿足（*）；
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)k=2，m=3時(shí)，b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．