Question

10．已知二次函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（a-1）x²+（b-4）x+1，其中a＞0，b＞0．
（1）當(dāng)a=3，b=8時(shí)，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的解法解得即可；
（2）需要分類(lèi)討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式即可求出ab的最大值．

解答 解：（1）當(dāng)a=3，b=8時(shí)，f（x）=x²+4x+1，
∵f（x）≤0，
∴x²+4x+1≤0，
解得-2-$\sqrt{3}$≤x≤-2+$\sqrt{3}$，
∴不等式f（x）≤0的解集為（-2-$\sqrt{3}$，-2+$\sqrt{3}$），
（2）f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{b-4}{a-1}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，
①當(dāng)a＞1時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，
由-$\frac{b-4}{a-1}$≥2，得2a+b≤6，
∵2a•b≤$（\frac{2a+b}{2}）^{2}$≤9，
∴ab≤$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{2a=b}\\{2a+b=6}\end{array}\right.$，即a=$\frac{3}{2}$，b=3時(shí)等號(hào)成立，
②當(dāng)a＜1時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，
由-$\frac{b-4}{a-1}$≤$\frac{1}{2}$，得a+2b≤9，
∵a•2b≤$（\frac{a+2b}{2}）^{2}$≤$\frac{81}{4}$，
∴ab≤$\frac{81}{8}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{9}{2}$，b=$\frac{9}{4}$時(shí)等號(hào)成立，
∵a=$\frac{9}{2}$＞1，故應(yīng)舍去，
由①②得ab的最大值為$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．