Question

20．等比數(shù)列{a_n}滿足a₆=a₂•a₄，且a₂為2a₁與$\frac{1}{2}{a_3}$的等差中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{a_n}{{（{{a_n}-1}）（{{a_{n+1}}-1}）}}$，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求使${T_n}＞\frac{2015}{2016}$成立時(shí)n的最小值．

Answer 1

分析 （I）通過(guò)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，利用a₆=a₂•a₄化簡(jiǎn)可知a₁=q，利用a₂為2a₁與$\frac{1}{2}{a_3}$的等差中項(xiàng)可知q=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加可知T_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞1-$\frac{1}{2016}$，比較即得結(jié)論．

解答 解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₆=a₂•a₄可知a₁a⁵=a₁q•a₁qq³，解得：a₁=q，
又∵a₂為2a₁與$\frac{1}{2}{a_3}$的等差中項(xiàng)，
∴2a₁+$\frac{1}{2}$a₃=2a₂，解得q=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
故其通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（I）可知${b_n}=\frac{a_n}{{（{{a_n}-1}）（{{a_{n+1}}-1}）}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴T_n=$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
要使${T_n}＞\frac{2015}{2016}$，即1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞1-$\frac{1}{2016}$，
∴2ⁿ⁺¹＞2017，n+1≥11，
∴n的最小值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．