Question

20．等比數列{a_n}滿足a₆=a₂•a₄，且a₂為2a₁與$\frac{1}{2}{a_3}$的等差中項．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${b_n}=\frac{a_n}{{（{{a_n}-1}）（{{a_{n+1}}-1}）}}$，T_n為{b_n}的前n項和，求使${T_n}＞\frac{2015}{2016}$成立時n的最小值．

Answer 1

分析 （I）通過設數列{a_n}的公比為q，利用a₆=a₂•a₄化簡可知a₁=q，利用a₂為2a₁與$\frac{1}{2}{a_3}$的等差中項可知q=2，進而可得結論；
（Ⅱ）通過（I）裂項可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，進而并項相加可知T_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，問題轉化為1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞1-$\frac{1}{2016}$，比較即得結論．

解答 解：（I）設數列{a_n}的公比為q，
由a₆=a₂•a₄可知a₁a⁵=a₁q•a₁qq³，解得：a₁=q，
又∵a₂為2a₁與$\frac{1}{2}{a_3}$的等差中項，
∴2a₁+$\frac{1}{2}$a₃=2a₂，解得q=2，
∴數列{a_n}是首項、公比均為2的等比數列，
故其通項公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（I）可知${b_n}=\frac{a_n}{{（{{a_n}-1}）（{{a_{n+1}}-1}）}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴T_n=$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
要使${T_n}＞\frac{2015}{2016}$，即1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞1-$\frac{1}{2016}$，
∴2ⁿ⁺¹＞2017，n+1≥11，
∴n的最小值為10．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．