Question

6．函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$，當(dāng)且僅當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f（x）＜0．
（1）求常數(shù)a的值；
（2）若方程f（x）=mx有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，（x+a）（x-1）＜0，即可求常數(shù)a的值；
（2）方程f（x）=mx，可得mx²-（m+1）x-1=0，分類討論，利用方程f（x）=mx有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$，當(dāng)且僅當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，
∴當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，（x+a）（x-1）＜0，
∴a=1；
（2）方程f（x）=mx，可得mx²-（m+1）x-1=0
m=0，方程為-x-1=0，x=-1，滿足題意，
m≠0，△=（m+1）²+4m=0，∴m=-3±2$\sqrt{2}$，滿足題意，
∴m=0或-3±2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．