Question

14．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）求|3$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$|；
（3）求（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-4，再由向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求；
（2）運用向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求；
（3）運用多項式的乘法法則，展開，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2．
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos120°=4×2×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{16+4-8}$=2$\sqrt{3}$；
（2）|3$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$|=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}+16{\overrightarrow}^{2}-24\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{9×16+16×4+24×4}$=4$\sqrt{19}$；
（3）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=16+4-8=12．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．