Question

8．判斷函數(shù)奇偶性：f（x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$+x）．

Answer 1

分析 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后確定f（-x）與f（x）的關(guān)系，注意到$\sqrt{1{+x}^{2}}$-x與$\sqrt{1{+x}^{2}}$+x互為倒數(shù)關(guān)系．

解答 解：函數(shù)的定義域為R，
f（-x）=lg（$\sqrt{1{+x}^{2}}$-x）=lg（$\sqrt{1{+x}^{2}}$+x）^-1=-lg（$\sqrt{1{+x}^{2}}$+x）=-f（x），
故該函數(shù)是奇函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的判定，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．定義域關(guān)于原點對稱是奇偶函數(shù)的一個本質(zhì)特征，定義法是其它方法的基礎(chǔ)；用等價定義判斷解析式較為復(fù)雜的函數(shù)的奇偶性時，可化繁為簡；圖象關(guān)于原點或y軸對稱是奇偶函數(shù)的幾何特征；反之，函數(shù)的奇偶性又是函數(shù)圖象對稱性的代數(shù)描述，進而實現(xiàn)了數(shù)與形的辨證統(tǒng)一．