Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=0，a₅+a₉=-10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2-n}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}$，利用分組求和法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式和錯位相減法能求出數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=0，a₅+a₉=-10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{{a}_{1}+4d+{a}_{1}+8d=-10}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=-1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×（-1）=2-n．
（2）∵$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2-n}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和：
T_n=（$\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-（$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$）
設(shè)S_n=$\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$，
B_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{B}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{B}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴B_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)、分組求和法及錯位相減法的合理運(yùn)用．