Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)分別為棱AB，PC的中點(diǎn) 
（1）求證：PE⊥BC； 
（2）求證：EF∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）證明PA⊥BC，AB⊥BC，證得CB⊥平面PAB，從而有CB⊥PE．
（2）取CD的中點(diǎn)G，由FG是三角形CPD的中位線，可得 FG∥PD，再由舉行的性質(zhì)得 EG∥AD，證明平面EFG∥平面PAD，從而證得EF∥平面PAD．

解答 解：（1）證明：∵側(cè)棱PA垂直于底面，∴PA⊥BC．
又底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC，
這樣，CD垂直于平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PE．
（2）取CD的中點(diǎn)G，
∵E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，∴FG是三角形CPD的中位線，
∴FG∥PD，F(xiàn)G∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．
故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查證明線線垂直、線面平行的方法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．