Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+2，x∈[-3，3]
（1）a=-1，求f（x）的最大與最小值；
（2）a∈R，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1時，f（x）=x²-x+2的圖象的是開口朝上，且以直線x=$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最值；
（2）函數(shù)f（x）=x²+ax+2的圖象的是開口朝上，且以直線x=$-\frac{a}{2}$為對稱軸的拋物線，分①當(dāng)$-\frac{a}{2}$＜-3、②當(dāng)-3≤$-\frac{a}{2}$＜0、③當(dāng)0≤$-\frac{a}{2}$≤3、④當(dāng)$-\frac{a}{2}$＞3四種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=x²-x+2的圖象的是開口朝上，且以直線x=$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，
若x∈[-3，3]，則當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值$\frac{7}{4}$，當(dāng)x=-3時，函數(shù)取最大值14；
（2）函數(shù)f（x）=x²+ax+2的圖象的是開口朝上，且以直線x=$-\frac{a}{2}$為對稱軸的拋物線，
①當(dāng)$-\frac{a}{2}$＜-3，即a＞6時，函數(shù)在[-3，3]上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=-3時，函數(shù)y取得最小值為11-3a；當(dāng)x=3時，函數(shù)y取得最大值為11+3a．
②當(dāng)-3≤$-\frac{a}{2}$＜0，即0＜a≤6時，x=$-\frac{a}{2}$時，函數(shù)y取得最小值為2-$\frac{1}{4}$a²；
當(dāng)x=3時，函數(shù)y取得最大值為11+3a．
③當(dāng)0≤$-\frac{a}{2}$≤3，即-6≤a≤0時，x=$-\frac{a}{2}$時，函數(shù)y取得最小值為2-$\frac{1}{4}$a²；
當(dāng)x=-3時，函數(shù)y取得最大值為11-3a．
④當(dāng)$-\frac{a}{2}$＞3，即a＜-6時，函數(shù)y在[-3，3]上是減函數(shù)，
故當(dāng)x=-3時，函數(shù)y取得最大值為11-3a；
當(dāng)x=3時，函數(shù)y取得最小值為11+3a

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題