Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x²-2mx-3m²|（m∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)m≥0時，記函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為φ（m），試求φ（m）的解析式．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=|（x-3m）（x+m）|，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論其單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1），討論m以確定函數(shù)的單調(diào)性及極值與端點(diǎn)函數(shù)值，從而求最值．

解答 解：（1）f（x）=|x²-2mx-3m²|=|（x-3m）（x+m）|，
①當(dāng)m=0時，f（x）=x²，
f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)m＞0時，f（x）=|（x-3m）（x+m）|，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
f（x）在（-∞，-m）上是減函數(shù)，在[-m，m）上是增函數(shù)，
在[m，3m）上是減函數(shù)，在[3m，+∞）上是增函數(shù)；
③當(dāng)m＜0時，f（x）=|（x-3m）（x+m）|，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
f（x）在（-∞，3m）上是減函數(shù)，在[3m，m）上是增函數(shù)，
在[m，-m）上是減函數(shù)，在[-m，+∞）上是增函數(shù)；
（2）①當(dāng)m=0時，f（x）=x²，φ（m）=f（-1）=f（1）=1，
②當(dāng)m≥1時，f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
故φ（m）=f（1）=3m²+2m-1，
③當(dāng)$\frac{1}{3}$≤m＜1時，
f（x）在[-1，-m）上是減函數(shù)，在[-m，m）上是增函數(shù)，
在[m，1]上是減函數(shù)，
而f（-1）=-3m²+2m+1，f（m）=4m²，
f（m）-f（-1）=7m²-2m-1，
令7m²-2m-1=0得，m=$\frac{1-2\sqrt{2}}{7}$或m=$\frac{1+2\sqrt{2}}{7}$，
故當(dāng)$\frac{1}{3}$≤m≤$\frac{1+2\sqrt{2}}{7}$時，
φ（m）=f（-1）=-3m²+2m+1，
當(dāng)$\frac{1+2\sqrt{2}}{7}$＜m＜1時，
φ（m）=f（m）=4m²，
③當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{3}$時，
f（x）在[-1，-m）上是減函數(shù)，在[-m，m）上是增函數(shù)，
在[m，3m）上是減函數(shù)，在[3m，1]上是增函數(shù)，
可判斷f（-1）最大，
故φ（m）=f（-1）=-3m²+2m+1．
綜上所述，
φ（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-3{m}^{2}+2m+1，0≤m≤\frac{1+2\sqrt{2}}{7}}\\{4{m}^{2}，\frac{1+2\sqrt{2}}{7}＜m＜1}\\{3{m}^{2}+2m-1，m≥1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．