Question

4．命題：“?x∈R，x²+2ax+2-a=0”；命題q：已知函數(shù)f（x）=log₂（a-2^x）+x-2，f（x）存在零點(diǎn)，命題p∧q為真命題，求參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關(guān)于p，q的a的范圍，根據(jù)命題p∧q為真命題，取交集即可．

解答 解：關(guān)于命題p：“?x∈R，x²+2ax+2-a=0”，
∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得：a≥1或a≤-2；
關(guān)于命題q：已知函數(shù)f（x）=log₂（a-2^x）+x-2，f（x）存在零點(diǎn)，
即方程2-x=log₂（a-2^x）有解，
∵方程2-x=log₂（a-2^x）可化為
2^2-x=a-2^x，
即方程a=2^x+2^2-x有解，
∵2^x+2^2-x=2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$≥2 $\sqrt{{2}^{x}•\frac{4}{{2}^{x}}}$=4，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4，+∞），
若命題p∧q為真命題，
則a≥4．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合命題的判斷，若函數(shù)有零點(diǎn)，則對應(yīng)方程有根，如果函數(shù)的解析式有含有參數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化對應(yīng)方程的形式，將方程改寫為參數(shù)的函數(shù)，然后利用求函數(shù)值域的方法，進(jìn)行求解．