20.判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$
(2)f(x)=|x+1|-|x-1|
(3)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x(x>0)}\\{{x}^{2}+x(x≤0)}\end{array}\right.$
(4)f(x)=x2lg(x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$)

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可.

解答 解:(1)要使函數(shù)有意義,則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x^2≥1}\\{x^2≤1}\end{array}\right.$
解得x2=1,即x=±1,定義域關(guān)于原點對稱,
則f(-x)=$\sqrt{{x^2}-1}$+$\sqrt{1-{x^2}}$=f(x).且f(1)=f(-1)=0,
故函數(shù)f(x)是既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).
(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),
則f(x)是奇函數(shù);
(3)若x>0,則-x<0,則f(-x)=x2-x=-(x2+x)=-f(x),
若x<0,則-x>0,則f(-x)=-x2-x=-(x2+x)=-f(x),
綜上f(-x)=-f(x),則f(x)是奇函數(shù);
(4)f(-x)=x2lg(-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$)=x2lg$\frac{(\sqrt{{x}^{2}+1}-x)(\sqrt{{x}^{2}+1}+x)}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=x2lg$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-x2lg(x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$)=-f(x),
則f(x)是奇函數(shù).

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,利用函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

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